مایلو • Tag: ریاضیات

در یکی از روزهای طوفانی سال ۵۲۰ پیش از میلاد مسیح، کرانه‌های یونان شاهد تقلای مردی برای نجات زندگی‌اش بود. او را به دریا می‌انداختند تا بمیرد. جرم او چه بود؟ برملا ساختن یک راز از دنیای ریاضیات: اعداد گنگ! نامش هیپاسوسِ متاپونتوم بود. داستان مرگش یک جور افسانه است؛ اما رازِ برملا شده واقعیت دارد.

هیپاسوس یک هندسه‌دان فیثاغوری بود. فیثاغوری به معنای تعلق داشتن به فیثاغوریان، مکتبی فلسفی که اهمیت فوق‌العاده‌ای به اعداد و تناسبات می‌دادند. برای آن‌ها ریاضیات چیزی بیش از یک روش برای توضیح و اندازه‌گیری کمیات جهان بود. در نظر آن‌ها، اعداد الهی بودند و شایسته ستایش. فیثاغوریان نسبت‌های میان اعداد را به دقت مطالعه می‌کردند؛ چرا که معتقد بودند که رازهای کیهان در این تناسبات نهفته است و می‌توان هر چیزی را به صورت نسبت دو عدد نوشت. بر سردر مدرسه آن‌ها این عبارت حک شده بود: «همه چیز عدد است.» فیثاغوریان همچنین معتقد بودند که علم نباید تحت مالکیت شخصی باشد؛ به همین دلیل هم، فلاسفه فیثاغوری به اندازه دیگران مشهور نیستند و نامی از آن‌ها به میان نیامده. به همین دلیل آن‌ها قضایا و کشفیات خود را به اسم خود نام‌گذاری نمی‌کردند. یک مثال آن قضیهٔ معروف فیثاغورث است که احتمالاً حاصل تفکر شخص فیثاغورث، بنیانگذار این مکتب، نبوده و کار یکی از فیثاغوریان بوده است. (درباره فیثاغورث و فیثاغوریان می‌توانید به پادکست بوم – پادکست فارسی تاریخ فلسفه – گوش دهید.)

گهگاه فیثاغوریان در محاسبات و مطالعاتشان به اعداد سحرآمیزی برمی‌خوردند که آه از نهادشان بلند می‌کرد که نمی‌توانستند متوجه شوند که این عدد حاصل تقسیم کدام دو شماره است! هیپاسوس قصهٔ ما هم به این اندیشیده بود که اگر بتواند پاسخی برای این مسئله پیدا کند، حتماً دارای ارج و قرب وصف نشدنی در میان هم‌قطاران خود می‌شد. این ایده که قطر مربع واحد (مربعی با اضلاع به طول ۱) نسبت کدام اعداد است خواب و خوراک را از او بریده بود. هیپاسوس حتی در سفر هم دست از کار روی این مسئله نمی‌کشید… تا اینکه یک روز در حالی که در آب‌های مدیترانه سفر می‌کرد، پاسخ غیرمنتظره را یافت: این عدد، جذر ۲، نسبت هیچ دو عددی نبود! در زمانه‌ای که اعداد چنان مقدس و روحانی‌اند، در حالی که اعتقاد بر این است که همه چیز متناسب است؛ این مرد چه بی‌شرمانه کفری می‌گوید!

این فقط یک ادعا نبود؛ بلکه هیپاسوس ثابت کرد که اعدادی وجود دارند که نسبت هیچ دو عددی نیستند. هیپاسوسِ متاپونتوم با داد و فریاد بر عرشه کشتی می‌دوید و این دستاوردش را برای رفیقانش شرح می‌داد. او توقع تشویق و ستایش داشت؛ اما با عصبانیت و انکار مواجه شد. ثابت کرد؛ اما دوستانش او را هدف خشم کشنده خود قرار دادند!

احتمالاً به لحاظ تاریخی این قصه واقعاً رخ نداده؛ ولی تاریخ علم و ریاضیات از این نمونه‌های جزمیت زیاد دارد. رفتار کلیسا با گالیله به خاطر اینکه می‌گفت زمین مرکز عالم نیست (کرویت زمین مورد دعوای گالیله و کلیسا نبود. گالیله می‌گفت زمین مرکز عالم نیست؛ بلکه این خورشید است که مرکزیت عالم را برعهده دارد. زمین کروی از زمان یونانیان باستان و عصر طلایی اسلام شناخته شده بود و مثل قرن بیست و یکم بحث خاصی هم درباره‌اش نبود!) و زنده‌سوزی جردانو برونو! داستان مخالفت‌های گسترده با چارلز داروین به خاطر نظریه جدیدش، داستان بیماری روانی گئورگ کانتور به‌خاطر مخالفت ریاضیدانان زمان با نظریه مجموعه‌ها و… . تازه فوریه خوش‌اقبال بود که به دلیل قدرتش به عنوان فرماندار فرانسوی مصر، کسی به خود جرئت مخالفت با سری‌های فاوریه را به خود نمی‌داد. بخت با پل دیراک نیز همراه بود که تابع دلتای دیراک بالاخره راهی به علم و ریاضیات یافت؛ چرا که ریاضی‌دانان زمان می‌گفتند این اصلاً تابع نیست. زمانی که با تعصب از یک مدل علمی دفاع می‌کنیم یا بر درستی گزاره‌ای اصرار می‌ورزیم؛ ما هم ممکن است هیپاسوسی را به آب خروشان مدیترانه بسپاریم.

منابع:

این نوشته قبلاً در ویرگول منتشر شده بود؛ حال با اندکی تغییر در این وبلاگ منتشر می‌شود.

دروغ مستلزم تخریب است و بازسازی این تخریب، تقریباً ناممکن به نظر می‌رسد. این به این معنی است که حتی حرفه‌ای‌ترین دروغ‌ها هم، عاقبت با احتمال بالای لو رفتن روبه‌رو خواهد شد. پس یک جای کار جملاتی از قبیل «سفر به ماه دروغ بوده.»، «موجودات فضایی در منطقهٔ ۵۱ آمریکا حضور دارند!»، «علت زلزلهٔ بم آزمایش اتمی بوده» یا «ویروس کرونا در آزمایشگاه‌های چین (یا آمریکا) ساخته شده!» و بقیهٔ تئوری‌های توطئه‌ای که اذعان دارند گروهی سری، رازی بسیار بزرگ را از مردم دنیا پنهان می‌کنند، می‌لنگد.

در واقع پروژه‌ای به بزرگی برنامهٔ آپولو با چهار صد هزار کارکن اصلاً توانایی محرمانگی بیش از شصت سال را ندارد. این موضوع را دیوید گریمز، فیزیکدان دانشگاه آکسفورد در مقاله‌ای¹ نشان داد که خلاصه‌ای از آن را در بخش کمی فنی‌تر همین نوشته مرور خواهیم کرد. مقالهٔ گریمز چهار تئوری توطئهٔ رایج را بررسی می‌کند:

اگر سفر به ماه دروغ بوده باشد، با ۴۰۰٫۰۰۰ کارمند ناسا، این دروغ طی مدت چهار سال می‌بایستی رسوا شود.
رابطهٔ بین واکسن و اوتیسم، باید بین سه تا سی و پنج سال افشا می‌شد.
تغییرات اقلیمی هم اگر کلاه‌برداری می‌بود، ظرف مدت چهار تا بیست و هفت سال لو می‌رفت.
و پنهان کردن درمان سرطان هم در نهایت ظرف سه سال توسط کسی از کارکنان شرکت‌های داروسازی لو می‌رفت.

من تقریباً پای حرف‌های باورمندان به این چهار تئوری توطئه نشسته‌ام. در مورد دروغ سفر به ماه، پوریا ناظمی نوشتهٔ بسیار ارزشمندی دارد که شک و شبه‌های باورمندان را پاسخ می‌دهد. در مورد گروه‌های ضدواکسن هم، شاید معروف‌ترین ضدواکسن‌ها دونالد ترامپ، رئیس‌جمهور عجیب و غریب آمریکا و کایری اروینگ ستارهٔ تیم بسکتبال بروکلین نتس باشند. مانند اکثر باورمندان به داستان‌های عجیب و غریب، این افراد هم چندان علاقه‌ای به مدرک و استدلال ندارند.

در مورد تغییرات اقلیمی، باز هم نام ترامپ ورد زبان‌هاست. در سال ۲۰۱۲ ادعا کرده بود که تغییرات اقلیمی شایعه است و توسط دولت چین برای خارج کردن صنایع آمریکا از عرصهٔ رقابت ساخته شده است ².

و مورد آخر را به طرز جالبی از یک معلم شنیدم! به نظرم شنیده شدن این موارد از زبان معلمان، زنگ خطری است برای نظام آموزش و پرورش که گذشته و حال خوبی هم نداشته است. به هر حال این نوشته شاید کمی برای آن‌ها که اهل بکارگیری مستندات و استدلال هستند مفید باشد؛ در غیر این صورت، متوهمان تئوری توطئه را به حال خودشان بگذارید. البته زیاده‌روی نکنید و به همه چیز هم برچسب تئوری توطئه نزنید.

کمی فنی‌تر

با تعداد زیادی از مفروضات و ساده‌سازی (که زمان محرمانگی را افزایش می‌دهد) شروع می‌کنیم. فرض می‌کنیم که عامل نفوذی وجود ندارد و راز از داخل مجموعه لو می رود. با این فرض که با یک بار درز اطلاعات، منجر به خنثی شدن توطئه می شود، از آمار پواسون استفاده می کنیم:

$$L=۱-e^{-t \phi}$$

در این‌جا، $\phi$ مقدار چشمداشتی تعداد لو رفتن بر واحد زمان است که خود تابعی از $N(t)$ تعداد توطئه‌گران (دست‌اندرکاران توطئه) و $p$ احتمال لو رفتن راز از سمت هر شخص در سال است:

$$\phi = ۱ – (۱-p)^{N(t)}$$

در این جا به منظور مختصرنویسی، $\psi = ۱ – p$ قرار می‌دهیم. پس می توانیم احتمال شکست توطئه را به این صورت بازنویسی کنیم:

$$L(t,N(t)) = ۱ – e^{-t (۱ – \psi^{N(t)})}$$

حال برای تابع $N(t)$ چند امکان متصور است. اگر توطئه نیازمند تعداد ثابتی از توطئه‌گران باشد، پس $N(t)$ باید ثابت باشد:

$$N(t)=N_{۰}$$

که $N_۰$ تعداد اولیهٔ توطئه‌گران است. در عوض اگر توطئه از نوع تک‌رویداد باشد و پس از انجام آن دیگر به توطئه‌گران نیازی نباشد، بر اثر گذر زمان، تعداد توطئه‌گران بر اثر مرگ و میر کم می‌شود و این هم احتمال لو رفتن را کاهش می‌دهد. در این صورت باید تابع بقای گمپرتز را وارد $N(t)$ کرد. اگر میانگین سن توطئه‌گران در زمان انجام توطئه $t_{e}$ باشد، آنگاه:

$$N(t) = N_{۰} e^{\frac{\alpha}{\beta}(۱-e^{\beta (t+t_{e})})}$$

که $N_۰$ تعداد اولیهٔ توطئه‌گران است و $\alpha$ و $\beta$ ثابت‌هایی برای تابع گمپرتز هستند. برای تقریب مرگ و میر آدم‌ها از مقادیر $\alpha = ۱۰^{-۴}$ و $\beta = ۰/۰۸۵$ استفاده می‌کنیم. و دست آخر، اگر توطئه‌گران بنا به دلایلی (که خود تا حدی شبیه به یک فراتوطئه است) یکدیگر را حذف کنند، آنگاه می‌توانیم $N_۰$ را به صورت نمایی مدل کنیم. اگر توطئه‌گران با سرعتی حذف شوند که بعد از زمان $t_۲$ نیمی از آن‌ها حذف شوند، آنگاه ثابت واپاشی می‌شود $\lambda = \frac{\ln{۲}}{t_{۲}}$ و تعداد توطئه‌گران نیز برابر است با:

$$N(t)= N_{۰}e^{- \lambda t}$$

واضح است که افزایش $N_۰$ منجر به افزایش $L(t)$ می‌شود. اما نرخ شکست نسبت به زمان کمی پیچیده‌تر است. برای موردی که تعداد توطئه‌گران ثابت است ($N(t) = N_{۰}$)، $L$ به صورت یکنوا افزایش می‌یابد. در عوض اگر مثل دو حالت بعدی، تعداد توطئه‌گران در زمان کاهش پیدا کند، $L$ نسبت به زمان از خود رفتار غیرخطی نشان خواهد داد (شکل ۱). در این موارد، برای محاسبهٔ $t_{m}$ زمانی که در آن $L$ بیشینه می‌شود، باید $\frac{\partial L}{\partial t} = 0 $ را حل کرد:

$$ ۱ – \psi^{N}(t_{m}) \left( ۱ + t_{m} \log{(\psi)} \frac{\partial N}{\partial t} |_{t_{m}} \right) = ۰$$

حل این معادله به صورت تحیلی ناممکن است؛ اما می‌توان به صورت عددی یا از روی نمودار، مقدار $t_{m}$ را تخمین زد.

**شکل ۱ – نمودار احتمال شکست توطئه‌ای با ۵۰۰۰ کارمند و $p = ۵ \times ۱۰^{-۶}$**. خط آبی تعداد توطئه‌گران را ثابت فرض کرده. نقطه‌چین قرمز تعداد آن‌ها را با تابع گمپرتز کم کرده و خط‌چین نارنجی هم آن‌ها را به صورت نمایی نسبت به زمان از میان برداشته.

تخمین پارامترها

برای داشتن یک پیش‌بینی خوب، پیش از هر چیز باید مؤلفه‌های معادلهٔ فوق را تخمین بزنیم. هر چه تخمین ما بهتر باشد، دقت پیش‌بینی هم بالاتر است. مهم‌ترین مؤلفه‌ای که باید تخمین زده شود، $p$ یا همان احتمال لو رفتن یا شکست توطئه است. اگر $p$ صفر باشد، توطئه تا ابد لو نمی‌رود. در عمل چنین مقداری برای $p$ متصور نیستیم. توطئه‌های زیادی در طول تاریخ لو رفته‌اند. ما با نگاه کردن به داده‌های این توطئه‌های لو رفته، می‌توانیم مقدار مناسب $p$ را حدس بزنیم. مقالهٔ گریمز از سه نمونه استفاده کرده است:

برنامهٔ جاسوسی پریزم که توسط آژانس امنیت ملی ایالات متحده (NSA) پیش برده می‌شود؛ برنامهٔ دولتی است که با کمک شرکت‌های خدمات دهنده (از جمله گوگل، مایکروسافت، فیسبوک و اپل) از کاربران اینترنت جاسوسی می‌کند. مقدار انبوهی داده از مشترکان تلفن و اینترنت توسط این پریزم شنود می‌شد. ادوارد اسنودن در سال ۲۰۱۳ (۱۳۹۲ ه.خ) دست به افشای این توطئه زد.
آزمایش سیفلیس تاسکیگی در سال ۱۹۳۲ (۱۳۱۱ ه.خ) در شهرک تاسکیگی ایالت آلابامای آمریکا انجام شد. هدف این تحقیق بررسی سیر بیماری در مردان آمریکایی آفریقایی‌تبار بود. در سال ۱۹۴۷ (۱۳۲۶ ه.خ) کشف شد که پنیسلین درمان مؤثری برای سیفلیس است؛ اما آزمایش تاسکیگی شرورانه ادامه پیدا کرد و به کسانی که درگیر بیماری بودند، پنیسلین داده نشد.
رسوایی علوم قانونی FBI زمانی افشا شد که دکتر فردریک وایتهورست، اسنادی از آزمایشگاه اف‌بی‌آی افشا کرد که نشان می‌داد، آزمایشات علوم قانونی این سازمان شبه‌علمی و نادرست است. در نتیجهٔ این آزمایشات بی‌گناهان زیادی به اشتباه محکوم به اعدام یا زندان‌های طولانی‌مدتی شدند که جان بسیاری از آن‌ها را گرفت.

با داده‌های این سه رسوایی می‌توان مقدار پارامتر $p$ را تخمین زد. فرض کنیم پس از گذشت زمان $t$ که توطئه برملا شد، احتمال شکست $L \geq ۰/۵$ خواهد بود. کران پایین $p$ نیز برابر خواهد بود با:

$$p > ۱ – \sqrt[N(t)]{۱ – \frac{\ln ۲}{t}}$$

اما باز هم ابهاماتی در این تخمین‌ها، به خصوص در مورد تعداد کارکنان وجود دارد. مثلاً در مورد پریزم، تعداد کل کارکنان NSA حدود ۳۰٫۰۰۰ نفر است؛ اما مشخصاً تعداد آن‌هایی که از پروژهٔ پریزم خبر داشتند بسیار کمتر از این مقدار است (توقع نداریم که دربان‌ها را هم از شاهکارشان باخبر کرده باشند!)، به خاطر همین هم برای مقدار $p$ دستمان را بالا گرفتیم. به دلیل کوتاه‌مدت بودن پروژه، تعداد کارکنان هم تقریباً ثابت بود. در مورد تاسکیگی، اوضاع پیچیده‌تر هم هست. سازمان مربوط به آزمایش در اوایل دههٔ ۱۹۳۰ تأسیس شد. تعداد دقیقی از کارکنان این سازمان در آن زمان موجود نیست و این یعنی باید برای این موضوع هم با استفاده از داده‌های دیگر، تعداد کارکنان را حدس بزنیم. برای آزمایشگاه اف‌بی‌آی هم مشکلات مشابه هست. ³

روش تجربی

مدل ما بسته به دقت پارامترها می‌تواند پیروزی یا شکست هر توطئه‌ای را پیش‌بینی کند. با استفادده از داده‌های جدول ۱، بهترین احتمال برای دهن‌لقی هر فرد ($p = ۴/۰۹ \times ۱۰^{-۶}$) را نشان می‌دهد.

پروژهٔ پریزم NSA
حداکثر دست‌اندرکاران	۳۰٫۰۰۰
زمان افشاء	۶ سال
$p$ تقریبی	$۴/۰۹ \times ۱۰^{-۶}$
$\psi$ تقریبی	۰/۹۹۹۹۹۵۹۱
آزمایش سیفلیس تاسکیگی
حداکثر دست‌اندرکاران	۶٫۷۰۰
زمان افشاء	۲۵ سال
$p$ تقریبی	$۴/۲۰ \times ۱۰^{-۶}$
$\psi$ تقریبی	۰/۹۹۹۹۹۵۸۰
رسوایی FBI
حداکثر دست‌اندرکاران	۵۰۰
زمان افشاء	۶ سال
$p$ تقریبی	$۲/۴۵ \times ۱۰^{-۴}$
$\psi$ تقریبی	۰/۹۹۹۷۵۵۰۰

جدول ۱

نتایج

داده‌های جدول ۲ مربوط به تعداد کارکنان توطئه‌های مختلف است. این داده‌ها مستقیماً با پارامتر $N(t)$ در ارتباط است. به جز توطئهٔ دروغین بودن سفر به ماه، برای بقیه می‌توان تعداد کارکنان را در طول زمان، ثابت در نظر گرفت؛ یعنی $N(t) = N_{۰}$. در مورد قضیهٔ ناسا، چون توطئه، یک بار رخ داده، پس تعداد دست‌اندرکاران به مرور زمان (بر اثر مرگ و میر) طبق معادلهٔ ۵ کاهش می‌یابد. دوباره تأکید می‌کنم که این اطلاعات خیلی واقع‌گرایانه نیست.

توطئه	تعداد کارکنان	جمع کل
دروغ سفر به ماه
حداکثر تعداد کارکنان ناسا (۱۹۶۵)	۴۱۱٫۰۰۰	۴۱۱٫۰۰۰
فریب تغییرات اقلیمی
مجمع ژئوفیزیک آمریکا	۶۲٫۰۰۰
ناسا (حال حاضر)	۵۸٫۰۰۰
آکادمی توسعهٔ علم آمریکا	۱۲۰٫۰۰۰
اعضای انجمن سلطنتی	۱۶٫۰۰۰
انجمن فیزیک اروپا	۱۲۰٫۰۰۰
اقلیم‌شناسانی که مقاله منتشر کردند	۲۹٫۰۸۳ $\approx$
جمع کل		۴۰۵٫۰۰۰$\approx$
توطئهٔ واکسن
مرکز کنترل بیماری (CDC)	۱۵٫۰۰۰
سازمان بهداشت جهانی (WHO)	۷٫۰۰۰
جمع کل		۲۲٫۰۰۰
پنهان کردن درمان سرطان
نوارتیس	۶۵٫۲۶۲
فایزر	۱۱۶٫۵۰۰
روشه	۷۸٫۶۰۴
سانوفی	۱۰۵٫۰۰۰
مرک اند کو	۷۰٫۰۰۰
جانسون اند جانسون	۱۲۲٫۲۰۰
گلاکسواسمیت‌کلاین	۹۹٫۰۰۰
آسترازنکا	۵۷٫۵۰۰
جمع کل		۷۱۴٫۰۰۰$\approx$

نتیجه‌گیری

جدول ۳ حاوی نتایج این تحقیق است. البته با توجه به دقت مورد استفاده در این تحقیق، خطای بسیار زیادی (شاید تا ۱۰۰٪ خطا) متوجه اعداد است. حتی با این فرض، باز هم اکثر توطئه‌های مذکور بعد نهایتاً ده سال محکوم به افشا و شکست‌اند.

توطئه	زمان شکست (سال)
دروغ سفر به ماه (تعداد ثابت / پایدار)	۳/۶۸
دروغ سفر به ماه (گمپرتز / تک‌رویداد)	۳/۶۸
تقلبی بودن تغییرات اقلیمی (فقط دانشمندان)	۲۶/۷۷
تقلبی بودن تغییرات اقلیمی (تمام بدنهٔ علمی)	۳/۷۰
توطئهٔ واکسن (فقط CDC و WHO)	۳۴/۷۸
توطئهٔ واکسن (به همراه کارخانه‌های داروسازی)	۳/۱۵
پنهان کردن درمان سرطان	۳/۱۷

جدول ۳: هر تئوری توطئهٔ رایج چقدر زمان نیاز دارد؟

پاورقی

1
On the Viability of Conspiratorial Beliefs
2
Donald J. Trump (@realDonaldTrump) November 6, 2012
3
در مقاله به تفضیل شرح داده شده است.

Tag: ریاضیات

مرگ هیپاسوس به خاطر یک راز ریاضی

دروغ، توطئه و احتمال درز کردن اطلاعات محرمانه