مفهوم جرم (Mass) که یکی از مفاهیم اساسی فیزیک است، اولین بار در سال ۱۶۸۷ توسط سر آیزاک نیوتن در کتاب Principia به مکانیک معرفی شد. نیوتن جرم را «مقدار ماده» تعریف کرد. هرچه مفهوم فیزیکی پایه‌ای‌تر باشد، تعریف آن و بیانش به وسیلهٔ واژگان دشوارتر می‌شود. برای مثال، آموزش مفهوم «کار» در مکانیک، اغلب دانشجویان را گیج می‌کند و «انرژی» هم دست‌کمی از آن ندارد. ویرایش سال ۱۹۶۰ دانشنامهٔ بریتانیکا، انرژی را با استفاده از کار تعریف می‌کرد؛ در حالی که مدخل کار در آن دانشنامه به شغل و اتحادیه‌های حرفه‌ای اشاره داشت!

درک بیشتر فیزیکدانان از جرم، انرژی و تکانه، درکی شهودی است؛ اما بخش کمی از آن‌ها می‌توانند بدون استفاده از ریاضیات، این مفاهیم را به زبان واژگانی بیان کنند. تعریف جرم در کتاب «اصول ریاضی فلسفهٔ طبیعی» (Philosophiæ NaturalisPrincipia Mathematica) به قدری مبهم است که حتی اکنون نیز محققان بر سر سازگاری منطقی آن بحث می‌کنند. با این حال، معادلات مکانیک نیوتنی کاملاً خودسازگارند.

جرم $m$ در سرعت $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$، تکانه $\vec{p}$ را می‌سازد:

$$ \vec{p} = m \vec{v} \tag{1} $$

همین روند برای شتاب $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ و نیرو $\vec{F}$ نیز صادق است:

$$ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = m \vec{a} \tag{2} $$

جرم همچنین بخشی از معادلات تعریف نیروی گرانش است. جرم $m_1$ در موقعیت $\vec{r}_1$، جرم $m_2$ را در موقعیت $\vec{r}_2$ جذب می‌کند:

$$ \vec{F}_g = – \frac{G m_1 m_2 \hat{r}}{r^2} \tag{3} $$

که در آن $\vec{r} = \vec{r}_2 – \vec{r}_1$ و $G$ ثابت گرانش نیوتن است:

G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}

انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل گرانشی نیز به وسیلهٔ جرم تعریف می‌شوند:

$$ E_k = \frac{p^2}{2m} = \frac{1}{2}mv^2 \tag{4} $$

$$ U_g = – \frac{G m_1 m_2}{r} \tag{5} $$

که در نهایت به انرژی کل می‌رسیم: $E = E_k + U_g$.

انرژی کل کمیتی پایسته است. وقتی سنگی سقوط می‌کند، انرژی پتانسیل کاهش و انرژی جنبشی‌اش افزایش می‌یابد. شاید مهم‌ترین دستاورد فیزیک قرن نوزدهم، فرمول‌بندی قوانین پایستگی بود. در اوایل قرن بیستم، امی نوتر (Emmy Noether) دریافت که هر قانون پایستگی نتیجهٔ یک تقارن در طبیعت است؛ پایستگی انرژی نتیجهٔ متقارن بودن زمان و پایستگی تکانه نتیجهٔ تقارن در فضا است.

پتانسیل گرانشی

مفهوم مهم دیگر، پتانسیل گرانشی $\varphi_g$ است. پتانسیل گرانشی جرم $m_1$ برابر است با:

$$ \varphi_g = – \frac{G m_1}{r} \tag{6} $$

و با ضرب در جرم جسم دوم، انرژی پتانسیل آن به دست می‌آید:

U_g = m_2 \varphi_g

یک قرن بعد، فرمول‌بندی مشابهی برای نیروی الکتریکی که نیروی دوربرد دیگری بود ارائه شد.

اصل هم‌ارزی

اگر در مفهوم جرم دقیق شویم، پیوند مستقیمی میان جرم در معادلات حرکت (لختی) و جرم در معادلات گرانشی نمی‌بینیم. چه دلیلی دارد «بار گرانشی» همان عاملی باشد که در برابر «شتاب» مقاومت می‌کند؟

برای روشن کردن این تمایز، دو گونهٔ مجزای جرم تعریف می‌کنیم:

$m_i$ (جرم لختی / inertial mass): عامل مقاومت جسم در برابر شتاب گرفتن.
$m_g$ (جرم گرانشی / gravitational mass): عاملی که در برهم‌کنش گرانشی ظاهر می‌شود.

آزمایش‌های فراوانی از زمان گالیله (و حتی حدود سال ۵۰۰ میلادی توسط ژان فلوپونوس) تا عصر حاضر انجام شده تا هم‌ارزی این دو را نشان دهد:

$$ m_i = m_g \tag{7} $$

تعاریف اصل هم‌ارزی

اصل هم‌ارزی کمابیش به سه شکل کلی بیان می‌شود: هم‌ارزی ضعیف (نیوتنی)، اینشتینی و قوی.

۱) اصل هم‌ارزی ضعیف (WEP)

این نسخه بیان می‌کند:

تمام ذرات آزمایشیِ بدون بار، اگر موقعیت و سرعت اولیهٔ یکسانی داشته باشند، مسیر کاملاً یکسانی را طی می‌کنند.
در یک میدان گرانشی یکنواخت، همهٔ اجرام فارغ از ترکیباتشان دقیقاً با یک شتاب سقوط می‌کنند.
سقوط یک جسم آزمایشی در حضور میدان گرانشی، مستقل از ویژگی‌هایی مثل جرم اولیهٔ آن است.

این نسخه با نام هم‌ارزی گالیله‌ای نیز شناخته می‌شود. ارسطو معتقد بود اجسام سنگین‌تر سریع‌تر سقوط می‌کنند. گالیله نشان داد چنین نیست و تفاوت مشاهده‌شده عمدتاً ناشی از نیروهای دیگری مانند مقاومت هواست، نه وابستگی شتاب سقوط به جرم.

۲) اصل هم‌ارزی اینشتین

این نسخه علاوه بر موارد WEP شامل این دو گزاره هم هست:

نتیجهٔ هر آزمایش محلیِ غیرگرانشی، مستقل از سرعت دستگاه آزمایش نسبت به میدان گرانشی است (استقلال از سرعت).
نتیجهٔ آن آزمایش مستقل از مکان و زمان انجام آزمایش است (استقلال از مکان و زمان).

۳) اصل هم‌ارزی قوی (SEP)

اصل هم‌ارزی قوی همان قیود اصل هم‌ارزی اینشتین را اعمال می‌کند، اما برای اجرام در حال سقوط آزاد اجازه می‌دهد که خودشان نیز دارای جرم و میدان گرانشی باشند؛ مثل سیاره‌ها، ستاره‌ها یا ستاره‌های فشرده (مانند کوتوله‌های سفید، ستاره‌های نوترونی و سیاهچاله‌ها). این اصل عملاً نیازمند «هندسی بودن گرانش» است.

سال	پژوهشگر	حساسیت	روش
۵۰۰؟	جان فیلوپونوس	کوچک	سقوط از برج
۱۵۸۵	سیمون استوین	$5\times10^{-2}$	سقوط از برج
۱۵۹۰؟	گالیلئو گالیله	$2\times10^{-3}$	پاندول، سقوط از برج
۱۶۸۶	آیزاک نیوتن	$10^{-3}$	پاندول
۱۸۳۲	فریدریش ویلهلم بسّل	$2\times10^{-5}$	پاندول
۱۹۰۸ (۱۹۲۲)	لراند اوتووش	$2\times10^{-9}$	ترازوی پیچشی
۱۹۱۰	ساوترنز	$5\times10^{-6}$	پاندول
۱۹۱۸	زیمن	$3\times10^{-8}$	ترازوی پیچشی
۱۹۲۳	پاتر	$3\times10^{-6}$	پاندول
۱۹۳۵	رنر	$2\times10^{-9}$	ترازوی پیچشی
۱۹۶۴	رول، کراتکوف، دیک	$3\times10^{-11}$	ترازوی پیچشی
۱۹۷۲	براگینسکی، پانوف	$10^{-12}$	ترازوی پیچشی
۱۹۷۶	شاپیرو و همکاران	$10^{-12}$	رصد لیزری ماه
۱۹۷۹	کایزر، فالِر	$4\times10^{-11}$	تکیه‌گاه سیال
۱۹۸۷	نیبائر و همکاران	$10^{-10}$	سقوط از برج
۱۹۸۹	استابز و همکاران	$10^{-11}$	ترازوی پیچشی
۱۹۹۰	آدلبِرگر و همکاران	$10^{-12}$	ترازوی پیچشی
۱۹۹۹	بسسلر و همکاران	$5\times10^{-14}$	ترازوی پیچشی
۲۰۰۸	شلامینگر و همکاران	$10^{-13}$	ترازوی پیچشی
۲۰۱۷	MICROSCOPE	$10^{-15}$	مدار زمین

جرم لختی، فعال و غیرفعال

در برخی آزمون‌های دقیق اصل هم‌ارزی، سه مفهوم از جرم را از هم جدا می‌کنند:

جرم لختی: ویژگی‌ای که در $F = m a$ ظاهر می‌شود.
جرم فعال: توانایی جرم برای ایجاد میدان گرانشی.
جرم غیرفعال: پاسخ جرم به میدان گرانشی خارجی.

طبق تعریف، اندازهٔ نیروی وارد بر جرم ۱ توسط میدان گرانشی جرم ۰ برابر است با:

$$ F_{1}=\frac{M_{0}^{\mathrm {act}}M_{1}^{\mathrm {pass}}}{r^{2}} $$

و برای جرم دوم:

$$ F_{2}=\frac{M_{0}^{\mathrm {act}}M_{2}^{\mathrm {pass}}}{r^{2}} $$

برای جرم لختی:

$$ F=m^{\mathrm {inert}}a $$

اگر دو جرم ۱ و ۲ هر دو در فاصلهٔ $r$ از $M_0$ باشند و با شتاب یکسان سقوط کنند:

$$ a_{1}=\frac{F_{1}}{m_{1}^{\mathrm {inert}}}=a_{2}=\frac{F_{2}}{m_{2}^{\mathrm {inert}}} $$

در نتیجه:

$$ \frac{M_{0}^{\mathrm {act}}M_{1}^{\mathrm {pass}}}{r^{2}m_{1}^{\mathrm {inert}}}=\frac{M_{0}^{\mathrm {act}}M_{2}^{\mathrm {pass}}}{r^{2}m_{2}^{\mathrm {inert}}} $$

و نهایتاً:

$$ \frac{M_{1}^{\mathrm {pass}}}{m_{1}^{\mathrm {inert}}}=\frac{M_{2}^{\mathrm {pass}}}{m_{2}^{\mathrm {inert}}} $$

به عبارت دیگر، جرم غیرفعال گرانشی مستقل از ترکیب، باید با جرم لختی متناسب باشد.

پارامتر اوتووش

پارامتر بی‌بعد اوتووش $\eta(A,B)$ برای دو جرم $A$ و $B$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

\eta (A,B)=2\frac{\left(\frac{m_{\text{pass}}}{m_{\text{inert}}}\right)_{A}-\left(\frac{m_{\text{pass}}}{m_{\text{inert}}}\right)_{B}}{\left(\frac{m_{\text{pass}}}{m_{\text{inert}}}\right)_{A}+\left(\frac{m_{\text{pass}}}{m_{\text{inert}}}\right)_{B}}

این پارامتر همان «حساسیت» گزارش‌شده در آزمون‌های اصل هم‌ارزی است. برای نمونه، مأموریت MICROSCOPE (۲۰۱۷) دقت $\eta \sim 10^{-15}$ گزارش کرد؛ یعنی خطایی در حد یک قسمت از $10^{15}$ قسمت.

ویژگی‌های جرم در مکانیک نیوتنی (جمع‌بندی)

جرم معیاری از مقدار ماده است.
جرم یک جسم معیاری از لختی آن است.
جرم اجسام اندازهٔ منبع جاذبهٔ گرانشی آن‌هاست.
جرم جسم مرکب برابر مجموع جبری جرم اجزا است (جرم جمع‌پذیر است).
جرم یک جسم یا سامانهٔ منزوی پایسته است و با زمان تغییر نمی‌کند.
جرم با تغییر چارچوب مرجع تغییر نمی‌کند.

پرسش‌ها و سرنخ‌ها

«اصل» چیست و چه تفاوتی با «نظریه» دارد؟
به جز نسبیت عام، چه نظریه‌های دیگری برای گرانش وجود دارد؟

منابع

Okun, B. L. The Concept of Mass in the Einstein Year

منبع: arXiv:hep-ph/0602037

Wikipedia contributors. Equivalence principle

آدرس: https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_principle

تاریخ دسترسی: ۲۰۲۶ Apr 24

مرور کوتاهی بر مفهوم جرم در مکانیک کلاسیک